問題詳情:
我們已經學過了關於兩個質點之間萬有引力的大小是:F=.但是,在某些特殊情況下,非質點之間的萬有引力計算及其應用的問題,我們可以利用下面兩個已經被嚴格*是正確的結論,而獲得快速有效地解決:
a.若質點m放置在質量分佈均勻的大球殼M(球殼的厚度也均勻)的空腔之內,那麼m和M之間的萬有引力總是為零.
b.若質點m放置在質量分佈均勻的大球體M之外(r≥r0),那麼它們之間的萬有引力為:F=,式中的r為質點m到球心之間的距離; r0為大球體的半徑.
假設地球可視為一個質量分佈均勻且密度為ρ的球體,通過地球的南北兩極之間能夠打通一個如圖所示的真空小洞.若地球的半徑為R,萬有引力常數為G,把一個質量為m的小球從北極的洞口由靜止狀態釋放後,小球能夠在洞內運動.
(1)求:小球運動到距地心為0.5R處的加速度大小a;
(2)*:小球在洞內做簡諧運動;
(3)求:小球在運動過程中的最大速度vm.
【回答】
(1) (2) 做簡諧運動(3)
【詳解】
解:(1)根據題意可知,小球距離地心為r=0.5R處萬有引力大小
又
由牛頓第二定律可知
三式聯立可得:
(2)假設小球相對於球心的位移是x,則有:
又
兩式聯立可得:
考慮萬有引力F的方向總是指向地心,即F的方向和小球相對於地心的位移x的方向總是方向相反的, 若令 :
則有:
結論:小球在洞內做簡諧振動.
(3) 由可知,從洞口到地心,小球的萬有引力大小F是隨着做功的距離線*減少的
所以
所以
知識點:萬有引力理論的成就
題型:解答題