函數的圖象經過四個象限，則a的取值範圍是　　　　　　．

問題詳情：

函數的圖象經過四個象限，則a的取值範圍是　　　　　　．

【回答】

（﹣96，﹣15）　．

考點： 利用導數研究函數的極值．

專題： 導數的概念及應用．

分析： 首先討論a=0時原函數圖象的情況，當a≠0時，求出原函數的導函數，分a＞0和a＜0兩種情況討論原函數的單調*，求出函數的極值點並求解極值，當a＞0時，要使原函數的圖象經過四個象限，需要極大值大於0，且極小值小於0，此時a的值不存在；當a＜0時，要使原函數的圖象經過四個象限，則需要極小值小於0，且極大值大於0，由此解得a的取值範圍．

解答： 解：由，

若a=0時，原函數化為f（x）=80．為常數函數，不合題意；

f′（x）=ax2+ax﹣2a=a（x2+x﹣2）=a（x+2）（x﹣1）．

若a＞0時，當x∈（﹣∞，﹣2），x∈（1，+∞）時有f′（x）＞0，

函數f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上為增函數．

當x∈（﹣2，1）時，f′（x）＜0，函數f（x）在（﹣2，1）上為減函數．

所以函數f（x）在x=﹣2時取得極大值=．

函數f（x）在x=1時取得極小值．

因為函數的圖象先增後減再增，要使函數的圖象經過四個象限，

則，解①得：a＞﹣15．解②得：a＜﹣96．

此時a∈∅；

若a＜0，當x∈（﹣∞，﹣2），x∈（1，+∞）時有f′（x）＜0，

函數f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上為減函數．

當x∈（﹣2，1）時，f′（x）＞0，函數f（x）在（﹣2，1）上為增函數．

所以函數f（x）在x=﹣2時取得極小值=．

函數f（x）在x=1時取得極大值．

為函數的圖象先減後增再減，要使函數的圖象經過四個象限，

則，解得﹣96＜a＜﹣15．

所以使函數的圖象經過四個象限的a的取值範圍是（﹣96，﹣15）．

故*為（﹣96，﹣15）．

點評： 本題考查了利用導數研究函數的極值，考查了函數的極值與函數圖象之間的關係，思考該問題時考慮數與形的結合，屬中檔題．

知識點：導數及其應用

題型：填空題