問題詳情:
筒車是我國古代利用水力驅動的灌溉工具,唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道:“水能利物,輪乃曲成”.如圖,半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉圈,筒車與水面分別交於點、,筒車的軸心距離水面的高度長為,簡車上均勻分佈着若干個盛水筒.若以某個盛水筒剛浮出水面時開始計算時間.
(1)經過多長時間,盛水筒首次到達最高點?
(2)浮出水面3.4秒後,盛水筒距離水面多高?
(3)若接水槽所在直線是的切線,且與直線交於點,.求盛水筒從最高點開始,至少經過多長時間恰好在直線上.(參考數據:,,)
【回答】
(1)27.4秒;(2)0.7m;(3)7.6秒
【解析】
(1)先根據筒車筒車每分鐘旋轉的速度計算出筒車每秒旋轉的速度,再利用三角函數確定,最後再計算出所求時間即可;
(2)先根據時間和速度計算出,進而得出,最後利用三角函數計算出,從而得到盛水筒距離水面的高度;
(3)先確定當在直線上時,此時是切點,再利用三角函數得到,
,從而計算出,最後再計算出時間即可.
【詳解】
(1)如圖1,由題意得,筒車每秒旋轉.
連接,在中,,所以.
所以(秒).
答:盛水筒首次到達最高點所需時間為27.4秒.
(2)如圖2,盛水筒浮出水面3.4秒後,此時.
所以.
過點作,垂足為,在中,.
.
答:此時盛水筒距離水面的高度.
(3)如圖3,因為點在上,且與相切,
所以當在直線上時,此時是切點.
連接,所以.
在中,,所以.
在中,,所以.
所以.
所以需要的時間為(秒).
答:從最高點開始運動,7.6秒後盛水筒恰好在直線上.
【點睛】
本題考查了切線的*質、鋭角三角函數、旋轉等知識,靈活運用題目所給數量關係以及特殊角的三角函數值是解題的關鍵.
知識點:解直角三角形與其應用
題型:解答題