如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长...

问题详情：

如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=．

（1）求*：PD是⊙O的切线；

（2）若AD=12，AM=MC，求的值．

【回答】

【解答】（1）*：连接OD、OP、CD．

∵=，∠A=∠A，

∴△ADM∽△APO，

∴∠ADM=∠APO，

∴MD∥PO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OM，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

∵OP=OP，OD=OC，

∴△ODP≌△OCP，

∴∠ODP=∠OCP，

∵BC⊥AC，

∴∠OCP=90°，

∴OD⊥AP，

∴PD是⊙O的切线．

（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，

∵AM=MC，

∴AM=2MO=2R，

在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，

∴R2+122=9R2，

∴R=3，

∴OD=3，MC=6，

∵==，

∴DP=6，

∵O是MC的中点，

∴==，

∴点P是BC的中点，

∴BP=CP=DP=6，

∵MC是⊙O的直径，

∴∠BDC=∠CDM=90°，

在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，

∴BM=6，

∵△BCM∽△CDM，

∴=，即=，

∴MD=2，

∴==．

【点评】本题考查相似三角形的判定和*质、圆周角定理、切线的判定和*质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

知识点：各地中考

题型：解答题