如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC．（1）如图1，点...

问题详情：

如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC．

（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x的函数解析式；

（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，说明理由；

（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E．若点C到⊙E上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径．

【回答】

∵AE⊥AC，∠ACB=90°，∴AE∥BC，∴=，

∵BC=6，AC=8，∴AB==10，∵AE=x，AP=y，

∴=，∴y=（x＞0）；(3分)

（2）∵∠ACB=90°，而∠PAE与∠PEA都是锐角，

∴要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，(判断对应得相似 4分)

此时△ABC∽△EAC，则=，

∴AE=．(5分)

故存在点E，使△ABC∽△EAP，此时AE=；

（3）∵点C必在⊙E外部，

∴此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE﹣DE． 

设AE=x．①当点E在线段AD上时，ED=6﹣x，EC=6﹣x+8=14﹣x，

∴x2+82=（14﹣x）2，解得：x=，

即⊙E的半径为．(7分)

②当点E在线段AD延长线上时，ED=x﹣6，EC=x﹣6+8=x+2，

∴x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙E的半径为9．(9分)

∴⊙E的半径为9或．

知识点：相似三角形

题型：综合题