已知点A(-1,1),B(4,6)在抛物线y=ax2+bx上.(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标...

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已知点A(-1,1),B(4,6)在抛物线y=ax2+bx上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求*：FH∥AE;

(3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿*线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值.

【回答】

（1）解：将A（-1，1）、B（4，6）代入抛物线y=ax2+bx得：

解得,

∴抛物线的解析式为y=x2-x;

(2)*：∵A(-1,1),F(0,m)，

∴直线AF的解析式为y=(m-1)x+m.

联立

整理得：x2-(m-)x-m=0，

∵A、G为直线AF与抛物线的交点,

∴xA+xG==2m-1,

∴xG=2m-1-(-1)=2m,

∴H(2m,0),

又∵F（0，m），

设直线HF的解析式为：y＝k0x+b0，则

解得

∴直线HF的解析式为：y=-x+m.

令y＝x2-x=0，

解得x1=0，x2＝1，

∴E（1，0），

∵A(-1,1),

设直线AE的解析式为y=k1x+b1，则，

解得，

∴直线AE的解析式为：y=-x+,

∵k0=k1，

∴AE∥HF;

(3)解：当t=或t＝或t＝或t＝时，QM＝2PM.

【解法提示】由题意知：直线AB的解析式为y=x+2,

∴设P(t-2,t),Q(t,0)，M(x0,y0),

则直线PQ的解析式为：y＝.

由QM=2PM可得:|x0-t|=2|x0-t+2|,

解得：x0=t-或x0=t-4.

(i)当x0=t-时,y0=，

∴M(t-,),

将点M代入y=x2-x中得：

(t-)2-(t-)=,

解得：t1=,t2=，

(ii)当x0＝t-4时,y0=2t，

∴M(t-4,2t),

将点M代入y=x2-x中得：

(t-4)2-(t-4)=2t,

解得：t3=,t4=.

综上所述,当t=或t＝或t＝或t＝时，QM＝2PM.

知识点：实际问题与二次函数

题型：解答题