问题详情:
点为正方形的边上任意一点,在正方形内部做等腰直角.
(1)如图1,若,则_________(请直接写出*)
(2)作关于的对称点,连接交于点.
①补全图形1;
②*:四边形ECHF为平行四边形.
(3)在(2)的条件下,连接,请直接写出和之间的数量关系.
【回答】
(1);(2)①见解析;②见解析;(3)
【解析】
(1)在中,利用勾股定理求得,再在是等腰直角三角形AEF中利用勾股定理即可求解;
(2)①按照要求补全图形即可;
②作MN⊥AB,交DC于N,交AB于M,*得△AMF≌△FNE,根据全等三角形的*质*点F在正方形ABCD的线BD上,设法*FH=EC,FH∥EC,从而*结论;
(3)根据②的过程,利用勾股定理*得 ,,从而得到.
【详解】
(1)∵四边形ABCD是正方形,AB=6,EC=2, ∴AB=AD=DC=6,∠ADE=90,
在中,AD= 6,DE=DC-EC=6-2=4,
∴,
∵AEF是等腰直角三角形,且∠AFE=90,
∴AF=EF,
∵,即,
∴;
(2)①补全图形如图所示:
②如图,过点F作MN⊥AB,交DC于N,交AB于M,连接BD,
∵AB∥CD,MN⊥AB,∠AFE=90, ∴MN⊥CD, ∴∠AFM+∠EFN=90°,∠AFM +∠FAM=90°, ∴∠EFN =∠FAM,
在△AMF和△FNE中,
, ∴△AMF≌△FNE(AAS), ∴AM=FN,MF=EN,
∵四边形ABCD是正方形,且MN⊥AB,
∴∠BAD=∠ADC=∠AMN=90°,
∴四边形ADNM是矩形,
∴AM=DN,
∴FN=DN,
又MN⊥CD,
∴∠FDN=45°,
∴点F在正方形ABCD的线BD上,
又F、H关于BC对称,
∴MF=FP=PH=EN,FP⊥BC,
∴四边形BPFM是正方形,四边形PCNF是矩形,
∴FP=NC,PC=FN,
∴FH=EC,
∵F、H关于BC对称,
∴FH⊥BC,
∵DC⊥BC,
∴FH∥EC,
∴四边形ECHF为平行四边形;
(3)由②得MF=FP,
∴,
∵AM=DN=FN,
∴,
∴.
【点睛】
本题考查了正方形的*质,全等三角形的判定和*质,等腰直角三角形*质,直角三角形的*质,勾股定理的应用,添加恰当辅助线是本题的关键.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题