问题详情：
已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋
x2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
【回答】
解： (1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，
f′(x)＝
－1＋2x.
由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝
，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－ln 2＝
(x－1)，即3x－2y＋2ln 2－3＝0.
(2)f′(x)＝
，x∈(－1，＋∞)．
当k＝0时，f′(x)＝－
所以，在区间(－1,0)上，f′(x)>0；
在区间(0，＋∞)上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，
单调递减区间是(0，＋∞)．
当0<k<1时，由f′(x)＝
＝0，
得x1＝0，x2＝
>0.
所以，在区间(－1,0)和(
，＋∞)上，f′(x)>0；
在区间(0，
)上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和(
，＋∞)，
单调递减区间是(0，
)．
当k＝1时，f′(x)＝
故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)．
当k>1时，由f′(x)＝
＝0，
得x1＝
∈(－1,0)，x2＝0.
所以，在区间(－1，
)和(0，＋∞)上，f′(x)>0；
在区间(
，0)上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(－1，
)和(0，＋∞)，
单调递减区间是(
，0)．
知识点：基本初等函数I
题型：解答题
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