四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交*线BC于点F，以DE、EF为邻...

问题详情：

四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交*线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG

（1）如图，求*：矩形DEFG是正方形；

（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；

（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．

【回答】

（1）*：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，

∵∠DCA＝∠BCA，

∴EQ＝EP，

∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，

∴∠QEF＝∠PED，

在Rt△EQF和Rt△EPD中，，

∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），

∴EF＝ED，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝4，

∵EC＝2，

∴AE＝CE，

∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；

   （3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，

∠DEC＝45°+40°＝85°，

∵∠DEF＝90°，

∴∠CEF＝5°，

∵∠ECF＝45°，

∴∠EFC＝130°，

②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，

∵∠DEF＝∠DCF＝90°，

∴∠EFC＝∠DEC＝40°，

综上所述，∠EFC＝130°或40°．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题