已知：抛物线与轴的一个交点为（1）求抛物线与轴的另一个交点的坐标；（2）是抛物线与轴的交点，是抛物线上的一点，...

问题详情：

已知：抛物线与轴的一个交点为

（1）求抛物线与轴的另一个交点的坐标；

（2）是抛物线与轴的交点，是抛物线上的一点，且以为一底的梯形的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）是第二象限内到轴、轴的距离的比为的点，如果点在（2）中的抛物线上，且它与点在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

（1）；（2）或；（3）存在，．

【解析】（1）依题意，抛物线

抛物线的对称轴为，如图1示：

抛物线与轴的一个交点为，

由抛物线的对称*，可得抛物线与轴的另一个交点的坐标为．

（2）抛物线与轴的一个交点为

，，，，

梯形中，，且点在抛物线上，

，，，

梯形的面积为9，，，，

所求抛物线的解析式为或．

（3）设点坐标为(x0 ,y0)，如图2所示：

依题意，x0＜0，y0＜0，且，，

①设点在抛物线上，∴y0=x02+4x0+3，

解方程组，得，

点与点在对称轴的同侧，点坐标为，．

设在抛物线的对称轴上存在一点，使的周长最小．

长为定值，要使的周长最小，只须最小

点关于对称轴的对称点是

由几何知识可知，是直线与对称轴的交点

设过点、的直线的解析式为，

，解得，

直线的解析式为，

把代入上式，得，

点坐标为，

②设点在抛物线上，∴y0=-x02-4x0-3，

解方程组，

消去y0，得，

△，此方程组无实数根．

综上，在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题