已知函数.（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当时，求*：；（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（...

问题详情：

已知函数.

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求*：；

（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

【回答】

（Ⅰ）和.

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ）.

【分析】

(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；

(Ⅱ)由题意分别*得和即可*得题中的结论；

(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.

【详解】

（Ⅰ），令得或者.

当时，，此时切线方程为，即；

当时，，此时切线方程为，即；

综上可得所求切线方程为和.

（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；

而，所以，即；

同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

所以是中的较大者，

若，即时，；

若，即时，；

所以当最小时，，此时.

【点睛】

本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数*不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

知识点：导数及其应用

题型：解答题