设双曲线C：的离心率为e，右顶点为A，点Q（3a，0），若C上存在一点P，使得AP⊥PQ，则（　　）A． B．...

问题详情：

设双曲线C：的离心率为e，右顶点为A，点Q（3a，0），若C上存在一点P，使得AP⊥PQ，则（　　）

A．  B．    C．  D．

【回答】

A考点】双曲线的简单*质．

【专题】综合题；圆锥曲线的定义、*质与方程．

【分析】P（m，n），根据数量积为零算出（m﹣a）（3a﹣m）﹣n2=0，结合点P（m，n）在双曲线上消去n，得关于m的一元二次方程（m﹣a）（3a﹣m）﹣b2（﹣1）=0，此方程的一个根为a，而另一个根为大于a的实数，由此建立关于a、b、c不等式关系，化简整理即可得到离心率e的取值范围．

【解答】解：设点P（m，n），可得=（m﹣a，n），=（3a﹣m，﹣n），

∵AP⊥PQ，

∴•=（m﹣a）（3a﹣m）﹣n2=0…（1）

又∵P（m，n）在双曲线上，

∴得n2=b2（﹣1）…（2）

将（2）式代入（1）式，得（m﹣a）（3a﹣m）﹣b2（﹣1）=0，

化简整理，得﹣m2+4am+c2﹣4a2=0，

此方程的一根为m1=a，另一根为m2=．

∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，

∴＞a，得4a2＞2c2，即e2＜2，

由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜．

故选：A．

【点评】本题给出双曲线上存在一点P，到A（a，0）和Q（3a，0）所张的角等于90°，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单几何*质和直线与双曲线关系等知识，属于中档题．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：选择题