如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作...

问题详情：

如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，*线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交*线DE于点F，连接CF．

（1）求*：△ABD∽△DCE；

（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；

（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解析】（1）*：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△BAD∽△DCE．

（2）解：如图2中，作AM⊥BC于M．

在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM•tanB＝4k×＝3k，

由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，

∴202＝（3k）2+（4k）2，

∴k＝4或﹣4（舍弃），

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∴BC＝2BM＝2•4k＝32，

∵DE∥AB，

∴∠BAD＝∠ADE，

∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，

∴∠BAD＝∠ACB，

∵∠ABD＝∠CBA，

∴△ABD∽△CBA，

∴＝，

∴DB＝＝＝，

∵DE∥AB，

∴＝，

∴AE＝＝＝．

（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．

理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，

∴四边形AMHN为矩形，

∴∠MAN＝90°，MH＝AN，

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∵AB＝20，tanB＝

∴BM＝CM＝16，

∴BC＝32，

在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝12，

∵AN⊥FH，AM⊥BC，

∴∠ANF＝90°＝∠AMD，

∵∠DAF＝90°＝∠MAN，

∴∠NAF＝∠MAD，

∴△AFN∽△ADM，

∴＝＝tan∠ADF＝tanB＝，

∴AN＝AM＝×12＝9，

∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，

当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，

∵FH⊥DC，

∴CD＝2CH＝14，

∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18，

∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．

知识点：相似三角形

题型：解答题