如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），*线PE与BC的...

问题详情：

如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），*线PE与BC的延长线交于点Q．

（1）求*：△PDE≌△QCE；

（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，

①求*：四边形AFEP是平行四边形；

②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D＝∠ECQ＝90°，

∵E是CD的中点，

∴DE＝CE，

又∵∠DEP＝∠CEQ，

∴△PDE≌△QCE（ASA）；

（2）①∵PB＝PQ，

∴∠PBQ＝∠Q，

∵AD∥BC，

∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，

∵△PDE≌△QCE，

∴PE＝QE，

∵EF∥BQ，

∴PF＝BF，

∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，

∴∠APF＝∠PAF，

∴∠PAF＝∠EPD，

∴PE∥AF，

∵EF∥BQ∥AD，

∴四边形AFEP是平行四边形；

②当AP＝时，四边形AFEP是菱形．

设AP＝x，则PD＝1﹣x，

若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，

∵CD＝1，E是CD中点，

∴DE＝，

在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，

解得x＝，

即当AP＝时，四边形AFEP是菱形．

【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的*质、全等三角形的判定与*质、直角三角形的*质、平行四边形与菱形的判定、*质等知识点．

知识点：各地中考

题型：解答题