在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交...

问题详情：

在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．

【回答】

(1)；；(2)的面积最大值是，此时点坐标为；(3)的最小值是3.

【分析】

(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点代入可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；

(2)作轴交于，如图，利用三角形面积公式，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的*质即可解决问题；

(3)作关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，则，利用锐角三角函数的定义可得出，此时最小，求出最小值即可．

【详解】

解：(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，

∵，∴点的坐标为，

代入抛物线的解析式得，，∴，

∴抛物线的解析式为，即．

令，解得，，∴，

∴，

∵的面积为5，∴，∴，

代入抛物线解析式得，，解得，，∴，

设直线的解析式为，

∴，解得：，

∴直线的解析式为．

(2)过点作轴交于，如图，设，则，

∴，

∴，，

∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．

(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，

∵，，

∴，，∴，

∵，

∴，∴，

∵、关于轴对称，∴，

∴，此时最小，

∵，，

∴，

∴．

∴的最小值是3．

【点睛】

主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的*质、相似三角形的判定与*质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的*质求最值问题．解（1）题的关键是熟练掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解（2）题的关键是灵活应用二次函数的*质求解；解（3）题的关键是作关于轴的对称点，灵活应用对称的*质和锐角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求的最小值转化为求的长度．

知识点：二次函数的图象和*质

题型：解答题