圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．（1）*...

问题详情：

圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．

（1）*：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；

（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．

【回答】

解：(1)*　∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．

∴l过的交点M(3,1)．即l恒过定点M(3,1)，

又∵M到圆心C(1,2)的距离

d＝＝＜5，∴点M(3,1)在圆内，

∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．

(2)　∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤，弦心距、半弦长和半径r满足勾股定理，

∴当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.

∴弦长AB的最小值|AB|min＝4.

此时，kCM＝－，kl＝－.

∵l⊥CM，∴·＝－1，解得m＝－.

∴当m＝－时，取到最短弦长为4.

知识点：圆与方程

题型：解答题