问题详情:
如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE丄平面ABCD,DF丄平面 ABCD,BE=2DF,AE丄EC.
(Ⅰ)*:平面AEC丄平面AFC
(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
【回答】
【分析】(Ⅰ)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG、EF、FG,运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC,再由面面垂直的判定定理,即可得到;
(Ⅱ)以G为坐标原点,分别以GB,GC为x轴,y轴,|GB|为单位长度,建立空间直角坐标系G﹣xyz,求得A,E,F,C的坐标,运用向量的数量积的定义,计算即可得到所求角的余弦值.
【解答】解:(Ⅰ)连接BD,
设BD∩AC=G,
连接EG、EF、FG,
在菱形ABCD中,
不妨设BG=1,
由∠ABC=120°,
可得AG=GC=,
BE⊥平面ABCD,AB=BC=2,
可知AE=EC,又AE⊥EC,
所以EG=,且EG⊥AC,
在直角△EBG中,可得BE=,故DF=,
在直角三角形FDG中,可得FG=,
在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,FD=,可得EF==,
从而EG2+FG2=EF2,则EG⊥FG,
(或由tan∠EGB•tan∠FGD=•=•=1,
可得∠EGB+∠FGD=90°,则EG⊥FG)
AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC,
由EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC;
(Ⅱ)如图,以G为坐标原点,分别以GB,GC为x轴,y轴,|GB|为单位长度,
建立空间直角坐标系G﹣xyz,由(Ⅰ)可得A(0,﹣,0),E(1,0,),
F(﹣1,0,),C(0,,0),
即有=(1,,),=(﹣1,﹣,),
故cos<,>===﹣.
则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为.
【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法,主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法:向量法,考查运算能力,属于中档题.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题