下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，...

问题详情：

下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：①BF⊥CE；②OM=ON；③；④．其中正确的命题有（　　）

A．只有①② B．只有①②④   C．只有①④ D．①②③④

【回答】

B

【考点】正方形的*质；全等三角形的判定与*质；等腰三角形的判定与*质；直角三角形斜边上的中线．

【分析】①可*△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得*．

②由题意正方形中∠ABO=∠BCO，在上面所*∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得*．

③利用AAS*三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）错误．

过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，由题意可*得三角形OGC与三角形OHB全等．

按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，则在**三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．

【解答】解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，

∴△ABF≌△BEC，

∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，

∴△BEH∽△ABF，

∴∠BAF=∠BHE=90°，

即BF⊥EC，①正确；

∵四边形是正方形，

∴BO⊥AC，BO=OC，

由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所*∠BCE=∠ABF，

∴∠ECO=∠FBO，

∴△OBM≌△ONC，

∴ON=OM，

即②正确；

③∵△OBM≌△ONC，

∴BM=CN，

∵∠BOM=90°，

∴当H为BM中点时，OH=BM=CN（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），

因此只有当H为BM的中点时，，故③错误；

④过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点，

在△OGC与△OHB中，

，

故△OGC≌△OHB，

∵OH⊥OG，

∴△OHG是等腰直角三角形，

按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，

则在**三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，

所以④式成立．

综上所述，①②④正确．

故选B．

【点评】本题考查了正方形的*质，全等三角形的*以及直角三角形斜边中线的*质，比较综合，有一定难度．

知识点：特殊的平行四边形

题型：选择题