如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，【*作1】將三角...

問題詳情：

如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，

【*作1】將三角板DEF的直角頂點E放置於三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，並使邊DE與邊AB交於點P，邊EF與邊BC於點Q．

在旋轉過程中，如圖2，當時，EP與EQ滿足怎樣的數量關係？並給出*．

【*作2】在旋轉過程中，如圖3，當時EP與EQ滿足怎樣的數量關係？，並說明理由．

【總結*作】根據你以上的探究結果，試寫出當時，EP與EQ滿足的數量關係是什麼？其中m的取值範圍是什麼？（直接寫出結論，不必*）m．

第2題

【回答】

【考點】相似形綜合題．

【分析】（*作1）連接BE，根據已知條件得到E是AC的中點，根據等腰直角三角形的*質可以*DE=CE，∠PBE=∠C．根據等角的餘角相等可以*∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，從而*結論；

（*作2）作EM⊥AB，EN⊥BC於M、N，根據兩個角對應相等*△MEP∽△NWQ，發現EP：EQ=EM：EN，再根據等腰直角三角形的*質得到EM：EN=AE：CE；

（總結*作）根據（2）中求解的過程，可以直接寫出結果；要求m的取值範圍，根據交點的位置的限制進行分析．

【解答】（*作1）EP=EQ，

*：連接BE，根據E是AC的中點和等腰直角三角形的*質，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，

∵∠BEC=∠FED=90°

∴∠BEP=∠CEQ，

在△BEP和△CEQ中

，

∴△BEP≌△CEQ（ASA），

∴EP=EQ；

如圖2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，

理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC於M，N，

∴∠EMP=∠ENC，

∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，

∴∠MEP=∠NEF，

∴△MEP∽△NEQ，

∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；

如圖3，過E點作EM⊥AB於點M，作EN⊥BC於點N，

∵在四邊形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，

∴∠EPB+∠EQB=180°，

又∵∠EPB+∠MPE=180°，

∴∠MPE=∠EQN，

∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，

∴=，

Rt△AME∽Rt△ENC，

∴=m=，

∴=1：m=，

EP與EQ滿足的數量關係式1：m，即EQ=mEP，

∴0＜m≤2+，（因爲當m＞2+時，EF和BC變成不相交）．

【點評】本題考查了相似三角形的*質和判定，全等三角形的*質和判定，主要考查學生運用定理進行推理的能力，*過程類似．

知識點：相似三角形

題型：綜合題