已知函數，.（1）設，求的最小值；（2）*：當時，總存在兩條直線與曲線與都相切.

問題詳情：

已知函數，.

（1）設，求的最小值；

（2）*：當時，總存在兩條直線與曲線與都相切.

【回答】

解：

（Ⅰ）F(x)＝(x＋1)ex－1，

當x＜－1時，F(x)＜0，F(x)單調遞減；

當x＞－1時，F(x)＞0，F(x)單調遞增，

故x＝－1時，F(x)取得最小值F(－1)＝－．                    …4分

（Ⅱ）因爲f(x)＝ex－1，

所以f(x)＝ex－1在點(t，et－1)處的切線爲y＝et－1x＋(1－t)et－1；          …5分

因爲g(x)＝，

所以g(x)＝lnx＋a在點(m，lnm＋a)處的切線爲y＝x＋lnm＋a－1，    …6分

由題意可得則(t－1)et－1－t＋a＝0．           …7分

令h(t)＝(t－1)et－1－t＋a，則h(t)＝tet－1－1

由（Ⅰ）得t＜－1時，h(t)單調遞減，且h(t)＜0；

當t＞－1時，h(t)單調遞增，又h(1)＝0，t＜1時，h(t)＜0，

所以，當t＜1時，h(t)＜0，h(t)單調遞減；

當t＞1時，h(t)＞0，h(t)單調遞增．                               …9分

由（Ⅰ）得h(a－1)＝(a－2)ea－2＋1≥－＋1＞0，                  …10分

又h(3－a)＝(2－a)e2－a＋2a－3＞(2－a)(3－a)＋2a－3＝(a－)2＋＞0，    …11分

h(1)＝a－1＜0，所以函數y＝h(t)在(a－1，1)和(1，3－a)內各有一個零點，

故當a＜1時，存在兩條直線與曲線f(x)與g(x)都相切．             …12分

知識點：基本初等函數I

題型：解答題