．設Sn爲數列{an}的前n項和，且Sn=2an﹣n+1（n∈N*），bn=an+1．（1）求數列{bn}的通...

問題詳情：

．設Sn爲數列{an}的前n項和，且Sn=2an﹣n+1（n∈N*），bn=an+1．

（1）求數列{bn}的通項公式；

（2）求數列{nbn}的前n項和Tn．

【回答】

【考點】8E：數列的求和；8H：數列遞推式．

【分析】（1）求出數列的首項，利用通項與和的關係，推出數列bn的等比數列，求解通項公式．

（2）利用錯位相減法求解數列的和即可．

【解答】解：（1）當n=1時，a1=S1=2a1﹣1+1，易得a1=0，b1=1；

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣n+1﹣[2an﹣1﹣n+1+1]，

整理得an=2an﹣1+1，

∴bn=an+1=2（an﹣1+1）=2bn﹣1，

∴數列{bn}構成以首項爲b1=1，公比爲2等比數列，

∴數列{bn}的通項公式bn=2n﹣1，n∈N•；

（2）由（1）知bn=2n﹣1，則nbn=n•2n﹣1，

則Tn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1，①

∴2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②

由①﹣②得：﹣Tn=20+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n==2n﹣1﹣n•2n，

∴Tn=（n﹣1）2n+1．

知識點：數列

題型：解答題