問題詳情:
某少數民族的刺繡有着悠久的歷史,如圖(1)、(2)、(3)、(4)爲她們刺繡最簡單的四個圖案,這些圖案都由小正方形構成,小正方形數越多刺繡越漂亮,現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同),設第n個圖形包含f(n)個小正方形.
(1) (2) (3) (4)
(1)求出f(5);
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n+1)與f(n)的關係式,並根據你得到的關係式求f(n)的表達式.
【回答】
[解] (1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,
∴f(5)=25+4×4=41.
(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1,
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
由上式規律得出f(n+1)-f(n)=4n.
∴f(2)-f(1)=4×1,
f(3)-f(2)=4×2,
f(4)-f(3)=4×3,
……
f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),
f(n)-f(n-1)=4·(n-1).
∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]
=2(n-1)·n,
∴f(n)=2n2-2n+1.
知識點:推理與*
題型:解答題