如下圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90...

問題詳情：

如下圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，

BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點．

（1）*：CD⊥平面PAE；

（2）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積．

【回答】

【解析】（1）*：如下圖所示，連接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，

得AC＝5．又AD＝5，E是CD的中點，所以CD⊥AE．

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．

而PA，AE是平面PAE內的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE．

（2）過點B作BG∥CD，分別與AE，AD相交於F，G，連接PF．

由（1）CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE．於是∠BPF爲直線PB與平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA爲直線PB與平面ABCD所成的角．由題意，知∠PBA＝∠BPF，因爲，，所以PA＝BF．

由∠DAB＝∠ABC＝90°，知AD∥BC，又BG∥CD，所以四邊形BCDG是平行四邊形，故GD＝BC＝3．於是AG＝2．在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以， ．於是PA＝BF＝．

又梯形ABCD的面積爲S＝×(5＋3)×4＝16，

所以四棱錐P－ABCD的體積爲V＝×S×PA＝×16×＝．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題