問題詳情:
如圖,在邊長爲l的正方形ABCD中,E是邊CD的中點,點P是邊AD上一點(與點A、D不重合),*線PE與BC的延長線交於點Q.
(1)求*:△PDE≌△QCE;
(2)過點E作EF∥BC交PB於點F,連結AF,當PB=PQ時,
①求*:四邊形AFEP是平行四邊形;
②請判斷四邊形AFEP是否爲菱形,並說明理由.
【回答】
【解答】解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠D=∠ECQ=90°,
∵E是CD的中點,
∴DE=CE,
又∵∠DEP=∠CEQ,
∴△PDE≌△QCE(ASA);
(2)①∵PB=PQ,
∴∠PBQ=∠Q,
∵AD∥BC,
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD,
∵△PDE≌△QCE,
∴PE=QE,
∵EF∥BQ,
∴PF=BF,
∴在Rt△PAB中,AF=PF=BF,
∴∠APF=∠PAF,
∴∠PAF=∠EPD,
∴PE∥AF,
∵EF∥BQ∥AD,
∴四邊形AFEP是平行四邊形;
②當AP=時,四邊形AFEP是菱形.
設AP=x,則PD=1﹣x,
若四邊形AFEP是菱形,則PE=PA=x,
∵CD=1,E是CD中點,
∴DE=,
在Rt△PDE中,由PD2+DE2=PE2得(1﹣x)2+()2=x2,
解得x=,
即當AP=時,四邊形AFEP是菱形.
【點評】本題是四邊形的綜合問題,解題的關鍵是掌握正方形的*質、全等三角形的判定與*質、直角三角形的*質、平行四邊形與菱形的判定、*質等知識點.
知識點:各地中考
題型:解答題