問題詳情:
綜合與探究
在平面直角座標系中,拋物線y=x2+bx+c經過點A(﹣4,0),點M爲拋物線的頂點,點B在y軸上,且OA=OB,直線AB與拋物線在第一象限交於點C(2,6),如圖①.
(1)求拋物線的解析式;
(2)直線AB的函數解析式爲 ,點M的座標爲 ,cos∠ABO= ;
連接OC,若過點O的直線交線段AC於點P,將△AOC的面積分成1:2的兩部分,則點P的座標爲 ;
(3)在y軸上找一點Q,使得△AMQ的周長最小.具體作法如圖②,作點A關於y軸的對稱點A',連接MA'交y軸於點Q,連接AM、AQ,此時△AMQ的周長最小.請求出點Q的座標;
(4)在座標平面內是否存在點N,使以點A、O、C、N爲頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點N的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
(1)y=x2+2x;(2)y=x+4,M(-2,-2),cos∠ABO=;(-2,2)或(0,4);(3)點Q(0,-);(4)存在,點N的座標爲(6,6)或(-6,-6)或(-2,6)
【解析】
(1)將點A、C的座標代入拋物線表達式即可求解;
(2)點A(﹣4,0),OB=OA=4,故點B(0,4),即可求出AB的表達式;OP將△AOC的面積分成1:2的兩部分,則AP=AC或AC,即可求解;
(3)△AMQ的周長=AM+AQ+MQ=AM+A′M最小,即可求解;
(4)分AC是邊、AC是對角線兩種情況,分別求解即可.
【詳解】
解:(1)將點A、C的座標代入拋物線表達式得:,解得,
故拋物線的解析式爲:y=x2+2x;
(2)點A(﹣4,0),OB=OA=4,故點B(0,4),
由點A、B的座標得,直線AB的表達式爲:y=x+4;
則∠ABO=45°,故cos∠ABO=;
對於y=x2+2x,函數的對稱軸爲x=-2,故點M(-2-2);
OP將△AOC的面積分成1:2的兩部分,則AP=AC或AC,,
則,解得:yP=2或4,
故點P(-2,2)或(0,4),
故*爲:y=x+4;(-2-2);;(-2,2)或(0,4);
(3)△AMQ的周長=AM+AQ+MQ=AM+A′M最小,
點A′(4,0),
設直線A′M的表達式爲:y=kx+b,則,解得,
故直線A′M的表達式爲:,
令x=0,則y=,故點Q(0,);
(4)存在,理由如下:
設點N(m,n),而點A、C、O的座標分別爲(﹣4,0)、(2,6)、(0,0),
①當AC是邊時,
點A向右平移6個單位向上平移6個單位得到點C,同樣點O(N)右平移6個單位向上平移6個單位得到點N(O),
即0 ± 6=m,0 ± 6=n,解得:m=n=±6,
故點N(6,6)或(-6,-6);
②當AC是對角線時,
由中點公式得:﹣4+2=m+0,6+0=n+0,
解得:m=-2,n=6,
故點N(-2,6);
綜上,點N的座標爲(6,6)或(-6,-6)或(-2,6).
【點睛】
本題考查的是二次函數綜合運用,涉及到一次函數的*質、平行四邊形的*質、圖形的平移、面積的計算等,其中第4問要注意分類求解,避免遺漏.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題