已知二次函數y=x2﹣（m+3）x+2m﹣1．（1）*：無論m取何值時，其圖象與x軸總有兩個交點；（2）當其...

問題詳情：

已知二次函數y=x2﹣（m+3）x+2m﹣1．

（1）*：無論m取何值時，其圖象與x軸總有兩個交點；

（2）當其圖象與y軸交於點A（0，5）時，求m的值；

（3）設由（2）確定的二次函數的圖象與x軸自左向右依次交於點B、C，頂點爲D，直線y=kx．

①問是否存在k的值，使得直線y=kx既平分△AOD的面積，又平分它的周長？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由；

②設直線y=kx與AD相交於點P，問是否存在以O、P、A（或D）爲頂點的三角形與△OAD相似？若存在，求出P點的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

【分析】（1）計算出△，可以*△大於0，即可說明圖象與x軸總有兩個交點；

（2）將點A（0，5）代入，即可求出m的值；

（3）①可以*△AOD是以O爲頂點的等腰三角形，所以當直線y=kx經過線段AD的中點時即可；

②由①知△AOD是以O爲頂點的等腰三角形，只要使OP=AP即可，進而求出P的值．

【解答】解：（1）△=（m+3）2﹣4（2m﹣1）

=m2﹣2m+13

=（m﹣1）2+12＞0，

∴無論m取何值時，其圖象與x軸總有兩個交點；

（2）將點A（0，5）代入可得：2m﹣1=5，

解得：m=3；

（3）由（2）知m=3，

∴此拋物線的解析式爲：y=x2﹣6x+5，

當y=0時，0=x2﹣6x+5，解得：x=1或x=5，

∴B（1，0），C（5，0），頂點D（3，﹣4），

設直線AD的解析式爲y=ax+b，將點A（0，5）和點D（3，﹣4）代入可得：

，

解得：，

∴直線AD的解析式爲：y=﹣3x+5；

①存在，k=．

如圖，過點D作DV⊥y軸，則：DV=3，OV=3，

∴OD==5，∴OD=OE，

過點O作OE⊥AD，則E爲AD的中點，

過點E作EW⊥y軸，垂足爲W，

∴WE∥DV，

∴△AWE∽△AVD，

∴=，即： =，

∴WE=，AW=，

∴OW=5﹣=，

∴點E（，），

把點E代入y=kx，得：

，

∴k=；

②存在點P（，），

設直線AD的解析式爲y=kx+b，

將點A（0，5）和點D（3，﹣4）代入可得：

，

解得：，

∴直線AD的解析式爲：y=﹣3x+5

∵△OAD是等腰三角形，∴當OP=AP時即可，

過點P作PM⊥y軸，垂足爲M，則M爲OA的中點，

∴OM=，

當y=時，，

解得：x=，

∴點P（，）．

【點評】本題主要考查了拋物線與座標軸的交點問題，以及求一次函數的解析式以及二次函數的解析式的問題，還有二次函數與三角形相似結合的問題，綜合*很強，注意總結．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題