問題詳情:
已知橢圓的左、右焦點分別爲,且橢圓離心率爲,過作軸的垂線與橢圓交於兩點,且,動點在橢圓上.
(I)求橢圓的標準方程;
(II)記橢圓的左、右頂點分別爲,且直線的斜率分別與直線(爲座標原點)的斜率相同,動點不與重合,試判斷的面積是否爲定值,並說明理由.
【回答】
(I)聯立方程得解得,
故,即,又,,所以,
故橢圓C的標準方程爲.
(II)由(I)知,,設,
則,
又,即,
所以,所以.
當直線的斜率不存在時,直線的斜率分別爲或,
不妨設直線的方程是,由得或.
取,則,所以的面積爲.
當直線的斜率存在時,設方程爲.
由得.
因爲在橢圓上,所以,解得.
設,,則,.
所以
.
設點到直線的距離爲,則.
所以的面積爲,①.
因爲,
所以
由,得,②.
由①②,得.
綜上所述,的面積爲定值,該定值爲.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題