反比例函數y＝(k爲常數,k≠0)的圖象是雙曲線.當k＞0時，雙曲線兩個分支分別在一、三象限,在每一個...

問題詳情：

     反比例函數y＝ (k爲常數,k≠0)的圖象是雙曲線.當k＞0時，雙曲線兩個分支分別在

一、三象限,在每一個象限內,y隨x的增大而減小（簡稱增減*）；反比例函數的圖象關於

   原點對稱（簡稱對稱*）．   

   這些我們熟悉的*質，可以透過說理得到嗎？

  【嘗試說理】

我們首先對反比例函數y＝（k＞0）的增減*來進行說理．

如圖，當x＞0時．

在函數圖象上任意取兩點A、B，設A(x1，)，B(x2，)，

且0＜x1＜ x2．

下面只需要比較和的大小．

—＝．

∵0＜x1＜ x2，∴x1－x2＜0，x1 x2＞0，且 k＞0．

∴＜0．即．

這說明：x1＜ x2時，．也就是：自變量值增大了，對應的函數值反而變小了．

即：當x＞0時，y隨x的增大而減小．

同理，當x＜0時，y隨x的增大而減小．

（1）試說明：反比例函數y＝  （k＞0）的圖象關於原點對稱．

   【運用推廣】

（2）分別寫出二次函數y＝ax2(a＞0，a爲常數)的對稱*和增減*，並進行說理．

對稱*：                                            ；

增減*：                                             ．

說理：

（3）對於二次函數y＝ax2＋bx＋c (a＞0，a，b，c爲常數)，請你從增減*的角度，簡要解釋爲何當x＝— 時函數取得最小值．

【回答】

  （1）在反比例函數y＝（k＞0）的圖象上任取一點P(m，n)，於是：mn＝k．

      那麼點P關於原點的對稱點爲P1(－m，－n)．而(－m)(－n)＝mn＝k，

      這說明點P1也必在這個反比例函數y＝的圖象上．

     所以反比例函數y＝  （k＞0）的圖象關於原點對稱．

（2）對稱*：二次函數y＝ax2 (a＞0，a爲常數)的圖象關於y軸成軸對稱．

     增減*：當x＞0時，y隨x增大而增大；當x＜0時，y隨x增大而減小．

     理由如下：

     ①在二次函數y＝ax2 (a＞0，a爲常數) 的圖象上任取一點Q(m，n)，於是n＝am2．

     那麼點Q關於y軸的對稱點Q1(－m，n)．而n＝a(－m)2，即n＝am2．

     這說明點Q1也必在在二次函數y＝ax2 (a＞0，a爲常數) 的圖象上．

     ∴二次函數y＝ax2 (a＞0，a爲常數)的圖象關於y軸成軸對稱，

     ②在二次函數y＝ax2 (a＞0,a爲常數)的圖象上任取兩點A、B,設A(m，am2),

       B(n，an2) ，且0＜m＜n．

     則an2－am2＝a(n＋m)(n－m)

     ∵n＞m＞0，

     ∴n＋m＞0，n－m＞0；

     ∵a＞0，

     ∴an2－am2＝a(n＋m)(n－m)＞0．即an2＞am2．

    而當m＜n＜0時，

    n＋m＜0，n－m＞0；

    ∵a＞0，

    ∴an2－am2＝a(n＋m)(n－m)＜0．即an2＜am2．

    這說明，當x＞0時，y隨x增大而增大；當x＜0時，y隨x增大而減小．

（3）二次函數y＝ax2＋bx＋c (a＞0，a，b，c爲常數) 的圖象可以由y＝ax2的圖象透過平

     移得到，關於直線x＝—對稱，當x＝—時，y＝．

     由（2），當x≥—時，y隨x增大而增大；也就是說，只要自變量x≥—，其對應

     的函數值y≥；而當x≤—時，y隨x增大而減小，也就是說，只要自變量x

     ≤—，其對應的函數值y≥．

綜上，對於二次函數y＝ax2＋bx＋c (a＞0，a，b，c爲常數)，當x＝— 時取得最小值．

知識點：反比例函數

題型：解答題