定義：數學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形．理解：（1）...

問題詳情：

定義：數學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形．

理解：（1）如圖1，已知A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點爲頂點，AB、BC爲邊的兩個對等四邊形ABCD；

（2）如圖2，在圓內接四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，AC=BD．求*：四邊形ABCD是對等四邊形；

（3）如圖3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，點A在BP邊上，且AB=13．用圓規在PC上找到符合條件的點D，使四邊形ABCD爲對等四邊形，並求出CD的長．

【回答】

解：（1）如圖1所示（畫2個即可）．

（2）如圖2，連接AC，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，

在Rt△ADB和Rt△ACB中，

    ∴Rt△ADB≌Rt△ACB，∴AD=BC，

又∵AB是⊙O的直徑，∴AB≠CD，∴四邊形ABCD是對等四邊形．

（3）如圖3，點D的位置如圖所示：

①若CD=AB，此時點D在D1的位置，CD1=AB=13；

②若AD=BC=11，此時點D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，

過點A分別作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足爲E，F，

設BE=x，∵tan∠PBC=，∴AE=，

在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即，解得：x1=5，x2﹣5（捨去），

∴BE=5，AE=12，∴CE=BC﹣BE=6，

由四邊形AECF爲矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，，∴，，

綜上所述，CD的長度爲13、12﹣或12+．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題