問題詳情:
如圖,*線AM平行於*線BN,∠B=90°,AB=4,C是*線BN上的一個動點,連接AC,作CD⊥AC,且AC=2CD,過C作CE⊥BN交AD於點E,設BC長為a.
(1)求△ACD的面積(用含a的代數式表示);
(2)求點D到*線BN的距離(用含有a的代數式表示);
(3)是否存在點C,使△ACE是以AE為腰的等腰三角形?若存在,請求出此時a的值;若不存在,請説明理由.
【回答】
【解答】解:(1)在Rt△ABC中,AB=4,BC=a,
∴AC==,
∴CD=AC=,
∵∠ACD=90°,
∴S△ACD=AC•CD=
(2)如圖1,過點D作DF⊥BN於點F,
∵∠FDC+∠FCD=90°,∠FCD+∠ACB=180°﹣90°=90°,
∴∠FDC=∠ACB,
∵∠B=∠DFC=90°,
∴∠FDC=∠ACB,
∵∠B=∠DFC=90°,
∴△DFC∽△CBA,
∴,
∴DF=BC=a,
∴D到*線BN的距離為a;
(3)存在,①當EC=EA時,
∵∠ACD=90°,
∴EC=EA=AD,
∵AB∥CE∥DF,
∴BC=FC=a,
由(2)知,△DFC∽△CBA,
∴,
∴FC=AB=2,
∴a=2,
②當AE=AC時,如圖2,AM⊥CE,
∴∠1=∠2,
∵AM∥BN,
∴∠2=∠4,
∴∠1=∠4,
由(2)知,∠3=∠4,
∴∠1=∠3,
∵∠AGD=∠DFC=90°,
∴△ADG∽△DCF,
∴,
∵AD==,AG=a+2,CD=,
∴,
∴a=4+8,
即:滿足條件的a的值為2或4+8.
知識點:相似三角形
題型:解答題