在數學探究課上，老師出示了這樣的探究問題，請你一起來探究：   已知：C是線段AB所在平面內任意一點，分別以A...

問題詳情：

在數學探究課上，老師出示了這樣的探究問題，請你一起來探究：

    已知：C是線段AB所在平面內任意一點，分別以AC、BC為邊，在AB同側作等邊

三角形ACE和BCD，聯結AD、BE交於點P．

（1）如圖1，當點C在線段AB上移動時，線段AD 與BE的數量關係是：         ．

（2）如圖2，當點C在直線AB外，且∠ACB＜120°，上面的結論是否還成立？若成立請*，不成立説明理由．此時∠APE是否隨着∠ACB的大小發生變化，若變化寫出變化規律，若不變，請求出∠APE的度數．

（3）如圖3，在（2）的條件下，以AB為邊在AB另一側作等邊三角形△ABF，聯結AD、BE和CF交於點P，求*：PB+PC+PA=BE．

【回答】

（1）AD =BE．

（2）AD =BE成立，∠APE不隨着∠ACB的大小發生變化，始終是60°.

*：∵△ACE和△BCD是等邊三角形

∴EC = AC，BC=DC

∠ACE=∠BCD=60°

∴∠ACE+∠ACB =∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD

在△ECB和△ACD中，

∴△ECB≌△ACD（SAS）

∴AD =BE

∠CEB=∠CAD

設BE與AC交於Q

又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP +∠APQ =∠EQC+∠CEQ +∠ECQ=180°

∴∠APQ =∠ECQ=60°，即∠APE=60°．  

（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°    

在PE上截取PH=PC，連接HC，

∴△PCH為等邊三角形

∴HC=PC，∠CHP=60°

∴∠CHE=120°

又∵∠APE=∠CPE =60°

∴∠CPA=120°

∴∠CPA=∠CHE

在△CPA和△CHE中，

∴△CPA≌△CHE（AAS）

∴AP =EH  

∴PB+PC+PA= PB+PH+ EH =BE．

知識點：三角形全等的判定

題型：綜合題