已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CD，CG⊥AD於點H，交AB於點G，E為AB上一點，連接CE交A...

問題詳情：

已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CD，CG⊥AD於點H，交AB於點G，E為AB上一點，連接CE交AD於點F．

（1）如圖1，若CE⊥AB於點E，HG=1，CH=5，求CF的長；

（2）如圖2，若AC=AE，∠GEH=∠ECH，求*：CE=HE；

（3）如圖3，若E為AB的中點，作A關於CE的對稱點A′，連接CA′，EA′，DA′，請直接寫出∠CEH，∠A′CD，∠EA′D之間的等量關係．

【回答】

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CA=CD，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴∠CAD=∠CDA=45°，

∵CG⊥AD，

∴∠CHF=∠AHG=90°，∠ACH=∠DCH=∠ACB=×90°=45°，AH=DH=CH=5，

∴∠GAH+∠AGC=90°，

∵CE⊥AB，

∴∠CEG=90°，

∴∠GCE+∠AGC=90°，

∴∠GCE=∠GAH，

在△CHF與△AHG中，，

∴△CHF≌△AHG，

∴HF=HG=1，

∴CF===；

（2）如圖2，過H作MH⊥EH，交CE於M，連接AM，

∵AC=AE，

∴∠AEC=∠ACE，

∵∠GEH=∠ECG，

∵MH⊥EH，

∴△EHM為等腰直角三角形，∠EHM=90°，

∴EH=MH，EM=HE，

∴∠AHM=∠AHC+∠CHM=90°+∠CHM=∠EHM+∠CHM=∠CHE，

在△AHM與△CHE中，，

∴△AHM≌△CHE，

∴∠MAF=∠ECH，

∴∠MAF+∠AFC=∠ECH+∠AFC=180°，

∴∠CHD=180°﹣90°，

∴AM⊥CE，

∵AC=AE，

∴△ACE是等腰三角形，

∴CM=EM=HE，

∴CE=2EM=2HE；

（3）∵H為AD的中點，E我AB的中點，

∴EH是△ABD的中位線，

∴EH∥BC，

∴∠CEH=∠BCE，

∴∠ACE=∠ACB﹣∠BCE=90°﹣∠BCE=90°﹣∠CEH，

∵EC=AE，

∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH，

∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH，

∵A關於CE的對稱點A′，

∴∠CA′E=∠CAE=90°﹣∠CEH，CA=CA′，

∵CA=CD，

∴CA′=CD，

∴∠CDA′=∠CA′D=∠CA′E+∠EA′D=90°﹣∠CEH+∠EA′D，

∵∠A′CD+∠CDA′+∠CA′D=180°，

∴∠A′CD+90°﹣∠CEH+∠EA′D+90°﹣∠CEH+∠EA′D=180°，

化簡得：∠A′CD+2∠EA′D=2∠CEH，

知識點：勾股定理

題型：綜合題