問題詳情:
如圖,已知AB是⊙O的切線,BC為⊙O的直徑,AC與⊙O交於點D,點E為AB的中點,PF⊥BC交BC於點G,交AC於點F
(1)求*:ED是⊙O的切線;
(2)求*:△CFP∽△CPD;
(3)如果CF=1,CP=2,sinA=,求O到DC的距離.
【回答】
(1)*:連接OD.
∵BC為直徑,∴△BDC為直角三角形.
在Rt△ADB中,E為AB中點,
∴BE=DE,
∴∠EBD=∠EDB.
又∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∵∠OBD+∠ABD=90°,∴∠ODB+∠EDB=90°.
∴ED是⊙O的切線.
(2)*:∵PF⊥BC,
∴∠FPC=90°﹣∠BCP(直角三角形的兩個鋭角互餘).
∵∠PDC=90°﹣∠PDB(直徑所對的圓周角是直角),∠PDB=∠BCP(同弧所對的圓周角相等),
∴∠FPC=∠PDC(等量代換).
又∵∠PCF是公共角,
∴△PCF∽△DCP.
(3)解:過點O作OM⊥CD於點M,
∵△PCF∽△DCP,∴PC2=CF•CD(相似三角形的對應邊成比例).
∵CF=1,CP=2,∴CD=4.
可知sin∠DBC=sinA=sin∠MOC=,
∴=,即=,
∴直徑BC=5,∴=,∴MC=2,∴MO=,
∴O到DC的距離為.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:綜合題