如圖，內接於⊙，是⊙的直徑．直線與⊙相切於點，在上取一點使得．線段，的延長線交於點．（1）求*：直線是⊙的切線...

問題詳情：

如圖，內接於⊙，是⊙的直徑．直線與⊙相切於點，在上取一點使得．線段，的延長線交於點．

（1）求*：直線是⊙的切線；

（2）若，，求*影部分的面積（結果保留）．

【回答】

（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，根據OA＝OC，DA＝DC可得∠OAC＝∠OCA，∠DAC＝∠DCA，再根據直線與⊙相切於點可得∠DAO＝90°，進而可得∠DCO＝90°，由此可*得直線是⊙的切線；

（2）先*BOC為等邊三角形，可得OB＝OC＝BC＝2，根據扇形面積公式可求得，再利用含30°的直角三角形的*質及勾股定理可求得，由此可求得，最後便可得．

【詳解】

（1）*：連接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵DA＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∵直線與⊙相切於點，

∴∠DAO＝90°，

∴∠DAC+∠OAC＝90°，

∴∠DCA+∠OCA＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∴OC⊥DC，

又∵點C在⊙上，

∴直線是⊙的切線；

（2）解：∵∠CAB＝30°，

∴∠COB＝2∠CAB＝60°，

又∵OB＝OC，

∴BOC為等邊三角形，

∴OB＝OC＝BC＝2，

∴，

∵∠OCE＝90°，∠COB＝60°，

∴∠E＝90°－∠COB＝30°，

∴OE＝2OC＝4，

∴在RtCOE中，，

∴

，

∴

∴*影部分的面積為．

【點睛】

本題考查了切線的*質與判定、扇形的面積公式以及含30°的直角三角形的*質，勾股定理，熟練掌握切線的*質與判定、扇形的面積公式是解決本題的關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題