問題詳情:
如圖,已知鋭角三角形ABC內接於⊙O,OD⊥BC於點D,連接OA.
(1)若∠BAC=60°,
①求*:OD= OA.
②當OA=1時,求△ABC面積的最大值。
(2)點E在線段OA上,(OE=OD.連接DE,設∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED(m,n是正數).若∠ABC<∠ACB,求*:m-n+2=0.
【回答】
(1)①*:連接OB,OC,
因為OB=OC,OD⊥BC,
所以∠B0D= ∠BOC= ×2∠BAC=60°,
所以OD= OB= OA.
②作AF⊥BC,垂足為點F,
所以AF≤AD≤AO+OD= ,等號當點A,O,D在同一直線上時取到.
由①知,BC=2BD= ,
所以△ABC的面積= BC·AF≤ × × = ,
即△ABC面積的最大值是 (2)*:設∠OED=∠ODE=α,∠COD=∠BOD=β.
因為△ABC是鋭角三角形,
所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°,
即(m+n)α+β=180°.(*)
又因為∠ABC<∠ACB,
所以∠EOD=∠AOC+∠DOC
=2mα+β,
因為∠OED+∠ODE+∠EOD=180°,
所以2(m+1)α+β=180°.(**)
由(*),(**),得m+n=2(m+1),
即m-n+2=0.
【考點】圓周角定理,圓的綜合題
【解析】【分析】(1)①連結OB、OC,根據圓周角定理得∠BOC=120°,由等腰三角形*質得∠BOD= ∠BOC=60°,由直角三角*質即可得*.
②作AF⊥BC,垂足為F,由三角形三邊關係得AF≤AD≤AO+OD,當點A、O、D三點共線時才能取等號,由①知BC=2BD= ,由S△ABC= ·BC·AF≤ × × ,計算即可求得*.(2)設∠OED=∠ODE=α,∠COD=∠BOD=β,由周角定義得∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°,即(m+n)α+β=180°①,由大邊對大角得∠ABC<∠ACB,可得∠EOD=2mα+β,由三角形內角和定理得2(m+1)α+β=180°②,①②聯立即可得*.
知識點:各地中考
題型:綜合題