如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4．若動點D在線段AC上（不與點A、C重合），過點D...

問題詳情：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4．若動點D在線段AC上（不與點A、C重合），過點D作DE⊥AC交AB邊於點E．點A關於點D的對稱點為點F，以FC為半徑作⊙C，當DE=_______時，⊙C與直線AB相切．

【回答】

或

【解析】

求出AB上的高，CH，即可得出圓的半徑，*△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．

【詳解】

過C作CH⊥AB於H，

∵∠ACB=90°，BC=2，AB=4，AC=6，

∴由三角形面積公式得：BC•AC=AB•CH，

CH=3，

分為兩種情況：①如圖，

∵CF=CH=3，

∴AF=6-3=3，

∵A和F關於D對稱，

∴DF=AD=，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

∴，

DE=；

②如圖2，

∵CF=CH=3，

∴AF=6+3=9，

∵A和F關於D對稱，

∴DF=AD=4.5，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

∴，

DE=.

【點睛】

本題考查了三角形的中位線，含30度角的直角三角形*質，相似三角形的*質和判定等知識點的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：填空題