問題詳情:
已知數列{an}的奇數項是公差為d1的等差數列,偶數項是公差為d2的等差數列,Sn是數列{an}的前n項和,a1=1,a2=2.
(1) 若S5=16,a4=a5,求a10;
(2) 已知S15=15a8,且對任意n∈N*,有an<an+1恆成立,求*:數列{an}是等差數列;
(3) 若d1=3d2(d1≠0),且存在正整數m,n(m≠n),使得am=an.求當d1最大時,數列{an}的通項公式.
【回答】
(1) 解:由題意,得a1=1,a2=2,a3=a1+d1=1+d1,a4=a2+d2=2+d2,a5=a3+d1=1+2d1.(2分)
因為S5=16,a4=a5,所以a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d2=16,2+d2=1+2d1.所以d1=2,d2=3,(4分)
所以a10=2+4d2=14.(5分)
(2) *:當n為偶數時,因為an<an+1恆成立,
即2+d2<1+d1,(d2-d1)+1-d2<0恆成立,所以d2-d1≤0且d2>1.(7分)
當n為奇數時,因為an<an+1恆成立,
即1+d2,(1-n)(d1-d2)+2>0恆成立,所以d1-d2≤0,於是有d1=d2.(9分)
因為S15=15a8,所以8+d1+14+d2=30+45d2,
所以d1=d2=2,an=n,所以數列{an}是等差數列.(11分)
(3) 解:若d1=3d2(d1≠0),且存在正整數m,n(m≠n),使得am=an,
由題意得,在m,n中必然一個是奇數,一個是偶數,不妨設m為奇數,n為偶數.
因為am=an,所以1+d1=2+d2.(13分)
因為d1=3d2,所以d1=.
因為m為奇數,n為偶數,所以3m-n-1的最小正值為2,此時d1=3,d2=1.(15分)
所以數列{an}的通項公式為an=
知識點:數列
題型:解答題