质点或光滑球以某一角度入到硬质表面上发生的反跳，通常呈现“反角等于入*角”的现象．但是对于一种粗糙的硬质橡...

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质点或光滑球以某一角度入*到硬质表面上发生的反跳，通常呈现“反*角等于入*角”的现象．但是对于一种粗糙的硬质橡皮球，当其与硬质表面碰撞且满足动能守恒时，它在反跳过程中却表现出许多奇异的现象，这种粗糙的高**人造硬质橡皮球称为超级**球，简称为超球．这种超球在硬质表面上的反跳几乎是完全**的，用它可以直观地演示粗糙物的**碰撞现象．试回答下列问题：

（1）若将一个小超球放在一个大超球的顶上，让这两个超球一起自由下落并撞击地面，就会发现小超球又跳回到空中，如果大超球与小超球的半径之比选择适当，那么小超球将反跳的高度大约是原先下落高度的9倍，如图1所示．若将大超球、小超球和乒乓球紧贴在一起自由下落，如图2所示，如果这些球的质量选择恰当，那么在它们碰撞地面后，乒乓球将反跳的高度几乎是原先下落高度的49倍．试建立力学模型进行说明

（2）如果超球以一定的速度和绕水平轴旋转的角速度与硬质地面碰撞，旋转的超球在、两点之间来回反跳，如图3所示．试说明发生这种现象的条件

【回答】

（1）说明见解析（2）说明见解析

【解析】

（1）在大超球碰撞地面之前，两超球均自由下落，它们之间未发生碰撞，大超球先与地面相碰撞，随后立即与小超球发生碰撞，假设大超球与地面以及超球间的碰撞都是完全**的．两超球自由下落结束时，都有向下的速度，由机械能守恒可得；大超球与地面**碰撞后，速度大小不变，方向向上．设大超球与小超球**碰撞后的速度大小分别为和，且方向向上．由动量守恒和机械能守恒，可得

①

②

式中，为大超球的质量；为小超球的质量

由式①与式②，可解得， ③

碰撞后小超球以初速度为竖直向上运动，由机械能守恒可得小超球反跳的高度：

④

即得 ⑤

若选择大超球半径为小超球半径的10倍，即，则．于是，由式⑤得到

对于题图2所示的三个紧贴的球，设由上至下三个球的质量分别为、和，且满足．根据前面的分析，当大球与地面碰撞后，立即与球发生碰撞，由式③可知，当球以相对于地面的速度反跳时，小球正以速度下落题图2-b1．在相对球为瞬时静止的惯*系里，小球相对于球以速度与球相碰撞（题图2-b2）．由于，碰撞后球相对于球以速度反跳（题图2-b3），即小球相对于地面以速度反跳（题图2-b4）．因此，小球反跳的高度为