已知正方形ABCD，P为*线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、E...

问题详情：

已知正方形ABCD，P为*线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC.

（1）    如图1，若点P在线段AB的延长线上，求*：EA=EC;

（2）    若点P在线段AB上.

①    如图2，连接AC,当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；

②    如图3，设AB=a,BP=b，当EP平分∠AEC时，求a ：b及∠AEC的度数

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【回答】

（1）    *：∵四边形ABCD为正方形

      ∴AB=AC

      ∵四边形BPEF为正方形

      ∴∠P=∠F=90°，PE=EF=FB=BP

      ∵AP=AB+BP,CF=BC+BF

∴CF=AP

在△APE和△CFE中：EP=EF, ∠P=∠F=90°, AP= CF

∴△APE≌△CFE

∴EA=EC

（2）    △ACE是直角三角形

∵P为AB的中点

∴BP=AP= AB

设BP=AP=x,则AB=2x

∵四边形ABCD为正方形

∴∠ABC=90°,BC=AB=2x

∴AC2=AB2+BC2=4x2+4x2=8x2

∵四边形BPEF为正方形

∴∠BPE=∠EFC=90°,PE=EF=BF=BP=x

∴CE2=CF2+EF2=(2x+x)2+x2=10x2

∵∠BPE=90°

∴∠APE=90°

∴AE2=AP2+PE2=x2+x2=2x2

∵8x2+2x2=10x2

∴AC2+AE2= CE2

∴△ACE是直角三角形

（3）    记CE与AB交于点O

∵四边形BPEF为正方形

∴PE=BP=b,∠APE=∠BPE=90°

∵EP平分∠AEC   ∴∠AEP=∠CEP

在△AEP和△OEP中：∠APE=∠BPE=90°，PE=PE,∠AEP=∠OEP

∴△AEP≌△OEP  ∴AP=OP

设AP=OP=x,则BO=b-x

∵四边形ABCD为正方形

∴∠ABC=90°,BC=AB=a

在△POE和△BOC中：∠OBC=∠OPE=90°，∠POE=∠BOC

∴△POE∽△BOC

         ∴=即:  =，x= ,检验无误  ∴AP=

     ∵AP+PB=AB   ∴+b=a  即a2=2b2

     ∴a=b       ∴a : b=

连接BE

∵四边形BPEF为正方形

∴∠BFE=90°,BF=EF=b

∴∠EBF=45°,BE2=BF2+EF2=b2+b2=2b2 即：BE=b

∴BE=AB     ∴∠BAE=∠BEA

∵∠EBF=45°   ∴∠BAE=∠BEA=67.5°

∵∠APE=90°  ∴∠AEP=22.5°∴∠AEC=2∠AEP =45°

综上：a : b=，∠AEC=45°

知识点：各地中考

题型：综合题