如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交...

问题详情：

如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F

（1）求*：ED是⊙O的切线；

（2）求*：△CFP∽△CPD；

（3）如果CF＝1，CP＝2，sinA＝，求O到DC的距离．

【回答】

（1）*：连接OD．

∵BC为直径，∴△BDC为直角三角形．

在Rt△ADB中，E为AB中点，

∴BE＝DE，

∴∠EBD＝∠EDB．

又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，

∵∠OBD+∠ABD＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝90°．

∴ED是⊙O的切线．

（2）*：∵PF⊥BC，

∴∠FPC＝90°﹣∠BCP（直角三角形的两个锐角互余）．

∵∠PDC＝90°﹣∠PDB（直径所对的圆周角是直角），∠PDB＝∠BCP（同弧所对的圆周角相等），

∴∠FPC＝∠PDC（等量代换）．

又∵∠PCF是公共角，

∴△PCF∽△DCP．

（3）解：过点O作OM⊥CD于点M，

∵△PCF∽△DCP，∴PC2＝CF•CD（相似三角形的对应边成比例）．

∵CF＝1，CP＝2，∴CD＝4．

可知sin∠DBC＝sinA＝sin∠MOC＝，

∴＝，即＝，

∴直径BC＝5，∴＝，∴MC＝2，∴MO＝，

∴O到DC的距离为．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：综合题