问题详情:
如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).
【回答】
解法一:设∠AMN=θ,在△AMN中,
因为MN=2,所以AM=sin(120°-θ) . ………………2分
在△APM中,cos∠AMP=cos(60°+θ). …………………6分
AP2=AM2+MP2-2 AM·MP·cos∠AMP
=sin2(120°-θ)+4-2×2× sin(120°-θ) cos(60°+θ) ………………………………8分
=sin2(θ+60°)- sin(θ+60°) cos(θ+60°)+4
=[1-cos (2θ+120°)]- sin(2θ+120°)+4
=-[sin(2θ+120°)+cos (2θ+120°)]+
=-sin(2θ+150°),θ∈(0,120°).
当且仅当2θ+150°=270°,即θ=60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.
答:设计∠AMN为60时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.
解法二(构造直角三角形):
设∠PMD=θ,在△PMD中,
∵PM=2,∴PD=2sinθ,MD=2cosθ. ……………2分
在△AMN中,∠ANM=∠PMD=θ,∴=,
AM=sinθ,∴AD=sinθ+2cosθ,(θ≥时,结论也正确).……………6分
AP2=AD2+PD2=(sinθ+2cosθ)2+(2sinθ)2
=sin2θ+sinθcosθ+4cos2θ+4sin2θ
=·+sin2θ+4=sin2θ-cos2θ+
此时AM=AN=2,∠PAB=30°
解法三:设AM=x,AN=y,∠AMN=α.
在△AMN中,因为MN=2,∠MAN=60°,
所以MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN,
即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4.
因为x2+y2-xy=4,4+xy=x2+y2≥2xy,即xy≤4.
所以AP2≤12,即AP≤2.
当且仅当x=y=2时,AP取得最大值2.
答:设计AM=AN=2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.
解法四(坐标法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.
设M(x1,0),N(x2,x2),P(x0,y0).∵MN=2,
∴(x1-x2)2+3x=4.
=4+4x1x2≤4+4×2=12, 即AP≤2.
答:设计AM=AN=2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小. 解法五(变换法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.
设M(x1,0),N(x2,x2),P(x0,y0).
∵MN=2,∴(x1-x2)2+3x=4.即x+4x=4+2x1x2
∴4+2x1x2≥4x1x2,即x1x2≤2. …………………4分
∵△MNP为正三角形,且MN=2.∴PK=,PK⊥MN.
x0-x1=(x2-x1)+x2,y0=-(x2-x1)+x2.
∴x0=2x2+x1,y0=x1.
∴AP2=x+y=(2x2+x1)2+x=x+4x+2x1x2
=4+4x1x2≤4+4×2=12, 即AP≤2.
答:设计AM=AN=2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.…
解法六(几何法):由运动的相对*,可使△PMN不动,点A在运动.
由于∠MAN=60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上,
设圆弧所在的圆的圆心为F,半径为R,
由图形的几何*质知:AP的最大值为PF+R.
在△AMN中,由正弦定理知:=2R,
∴R=,
∴FM=FN=R=,又PM=PN,∴PF是线段MN的垂直平分线.
设PF与MN交于E,则FE2=FM2-ME2=R2-12=.
即FE=,又PE=.
∴PF=,∴AP的最大值为PF+R=2.
答:设计AM=AN=2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.
知识点:解三角形
题型:解答题