问题详情:
已知圆A:x2+y2+2x-15=0和定点B(1,0),M是圆A上任意一点,线段MB的垂直平分线交MA于点N,设点N的轨迹为C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)若直线y=k(x-1)与曲线C相交于P,Q两点,试问:在x轴上是否存在定点R,使当k变化时,总有∠ORP=∠ORQ?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(Ⅰ);(Ⅱ)存在定点R(4,0)满足题设.
【分析】
(Ⅰ)求出圆心A,通过|NM|=|NB|,推出点N的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,设其标准方程,求出a,c,即可求解椭圆方程.(Ⅱ)设存在点R(t,0)满足题设,联立直线y=k(x﹣1)与椭圆方程,设P(x1,y1),Q(x2,y2),利用韦达定理,通过直线RP与直线RQ的斜率之和为零,即可得到t的值.
【详解】
解:(Ⅰ)圆A:(x+1)2+y2=16,圆心A(-1,0),由已知得|NM|=|NB|,
又|NM|+|NB|=4,所以|NA|+|NB|=4>|AB|=2,
所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,
设其标准方程C:,则2a=4,2c=2,所以a2=4,b2=3,
所以曲线C:;
(Ⅱ)设存在点R(t,0)满足题设,联立直线y=k(x-1)与椭圆方程,
消去y,得(4k2+3)x2-8k2x+(4k2-12)=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则由韦达定理得①,②,
由题设知OR平分∠PRQ⇔直线RP与直RQ的倾斜角互补,
即直线RP与直线RQ的斜率之和为零,即,即,即2kx1x2-(1+t)k(x1+x2)+2tk=0③,
把①、②代入③并化简得,即(t-4)k=0④,
所以当k变化时④成立,只要t=4即可,所以存在定点R(4,0)满足题设.
【点睛】
本题考查利用椭圆定义求轨迹问题,考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查存在*问题的处理方法,考查分析问题解决问题的能力.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题