某房地产商建有三栋楼宇，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域外建第四栋楼宇，规划要求楼宇对楼宇...

问题详情：

某房地产商建有三栋楼宇，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域外建第四栋楼宇，规划要求楼宇对楼宇，的视角为，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．

（1）求四栋楼宇围成的四边形区域面积的最大值；

（2）当楼宇与楼宇，间距离相等时，拟在楼宇，间建休息亭，在休息亭和楼宇，间分别铺设鹅卵石路和防腐木路，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为，（单位：元千米，为常数）．记，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．

【回答】

（1）围成的四边形区域 的面积的最大值 平方千米；（2）总费用的最小值元.

【解析】

（1）由楼宇对楼宇，的视角为得楼宇D在一段圆弧上，则相等时，可得最大，固定，计算此时四边形的面积即可．

（2）用表示出，，从而表示出铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费：，再利用导数判断的单调*，从而求得它的最小值，问题得解．

【详解】

（1）当且仅当：时，取得等号，所以的最大值为

又因为四边形的面积

所以四边形的面积的最大值为.

答：四栋楼宇围成的四边形区域的面积的最大值平方千米.

（2）当楼宇与楼宇间距离相等时

由（1）得：

则，又因为，所以，因为等边三角形

所以，所以

在中，，所以

，则

所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用

令

因为，所以

所以当时，

即：的最小值为

答：铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值元.

【点睛】

本题主要考查了圆的*质，三角形面积计算，还考查了函数思想及转化思想，计算能力及利用导数求函数的最值，考查了实际问题建模，属于难题．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题