如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△...

问题详情：

如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn=_____．

【回答】

【解析】

由AB1是边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出CB1的长，继而可得△B1CB2是有一个角为30度的直角三角形，同理可知△B2C1B3、△B3C2B4、△B4C3B5、…、都是有一个角为30度的直角三角形，而且后一个的斜边是前一个30度角所邻的直角边，由此即可求得Sn.

【详解】∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，

∴∠C=60°，CB1=BB1=1，

又∵∠B1B2C=90°，∴∠CB1B2=30°,

∴CB2=，B1B2=，∴S1=，

同理，Rt△B2C1B3中，B2C1=B1B2=，∴C1B3=×=，B2B3=，

∴S2=，

同理，S3=

…，

∴Sn=，

故*为．

【点睛】本题考查了规律题，涉及等边三角形的*质，含30度角的直角三角形的*质、勾股定理等，有一定难度，熟练掌握并灵活运用等边三角形的*质、勾股定理等解本题的关键．

知识点：勾股定理

题型：填空题