问题详情:
以坐标原点为圆心,1为半径的圆分别交x,y轴的正半轴于点A,B.;如图,动点P从点A处出发,沿x轴向右匀速运动,与此同时,动点Q从点B处出发,沿圆周按顺时针方向匀速运动.若点Q的运动速度比点P的运动速度慢,经过1秒后点P运动到点(2,0),此时Q走过的路程弧的长为;
(1)求此时点Q的坐标;
(2)此时PQ是否与⊙O相切?请说明理由.
(3)若点Q按照原来的方向和速度继续运动,点P停留在点(2,0)处不动,求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长.
【回答】
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)先求出∠BOQ,再用含30°角的直角三角形的*质求出OC,CQ即可;
(2)用三角函数先求出∠OPQ,再求出∠OQP的度数即可得出结论;
(3)先求出Q点的运动速度,利用垂径定理,勾股定理可以解决.
【解答】解:(1)如图1,过点Q作QC⊥OA,设∠BOQ=n,
∵Q走过的路程弧的长为,
∴=,
∴n=30°,
∴∠BOQ=30°,
在Rt△OCQ中,∠COQ=90°﹣30°=60°,OQ=1,
∴OC=,CQ=,
∴Q(,);
(2)如图1,∵P(2,0),
∴OP=2,
∴CP=OP﹣OC=,
在Rt△COP中,tan∠OPQ==,
∴锐角∠CPQ=30°,
∴∠OPQ+∠POQ=90°,
∴∠OQP=90°,
∴OQ⊥PQ,
∵点Q在⊙O上,
∴PQ与⊙O相切;
(3)由(1)可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°,
若Q按照原来的方向和速度继续运动,那么再过5秒,则点Q再绕点O顺时针旋转150°,
即:Q点落在⊙O与y轴负半轴的交点处(如图2)
.设直线PQ与⊙O的另外一个交点为D,
过O作OC⊥QD于点C,则C为QD的中点.
∵∠QOP=90°,OQ=1,OP=2,
∴QP=,
∵OQ•OP=QP•OC,
∴OC==,
∵OC⊥QD,OQ=1,
∴QC=,
∴QD=.
【点评】此题是圆的综合题,主要考查了弧长公式,切线的判定,垂径定理,勾股定理,锐角三角函数,解本题的关键是判断出点PQ是⊙O的切线和点Q再过5秒时的位置,是一道涉及知识点比较多的中考常考题.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题