如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4...

问题详情：

如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：

①△FPD是等腰直角三角形；

②AP=EF；

③AD=PD；

④∠PFE=∠BAP．

其中，所有正确的结论是（　　）

A．①② B．①④  C．①②④     D．①③④

【回答】

C【考点】四边形综合题．

【分析】用正方形的*质和垂直的定义判断出四边形PECF是矩形，从而判定②正确；

直接用正方形的*质和垂直得出①正确，

利用全等三角形和矩形的*质得出④正确，

由点P是正方形对角线上任意一点，说明AD和PD不一定相等，得出③错误．

【解答】解：如图，

∵P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，

∴PA=PC，∠C=90°，

∵过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD，

∴∠PEC=∠DFP=∠PFC=∠C=90°，

∴四边形PECF是矩形，

∴PC=EF，

∴PA=EF，故②正确，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°，

∵∠PFC=∠C=90°，

∴PF∥BC，

∴∠DPF=45°，

∵∠DFP=90°，

∴△FPD是等腰直角三角形，故①正确，

在△PAB和△PCB中，

，

∴△PAB≌△PCB，

∴∠BAP=∠BCP，

在矩形PECF中，∠PFE=∠FPC=∠BCP，

∴∠PFE=∠BAP．故④正确，

∵点P是正方形对角线BD上任意一点，

∴AD不一定等于PD，

只有∠BAP=22.5°时，AD=PD，故③错误，

故选C

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的*质，矩形的判定和*质，全等三角形的判定和*质，垂直的定义，解本题的关键是判断出四边形PECF是矩形．

知识点：特殊的平行四边形

题型：选择题