问题详情:
如图(十七)所示,将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折,然后向右平移1个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B,和x轴的交点为点C,D(点D位于点C的左侧).
(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)从点A,C,D三个点中任取两个点和点B构造三角形,求构造的三角形是等腰三角形的概率;
(3)若点M是线段BC上的动点,点N是△ABC三边上的动点,是否存在以AM为斜边的Rt△AMN,使△AMN的面积为△ABC面积的,若存在,求tan∠MAN的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)将抛物线y=x2+2x+1沿x轴翻折得到:y=-x2-2x-1,
将抛物线y=-x2-2x-1,向右平移1个单位得到:y=-x2,
将抛物线y=-x2向上平移4个单位得到:y=-x2+4.
所求函数y=ax2+bx+c的解析式为y=-x2+4.………………………………2分
(2)从A,C,D三个点中任选两个点和点B构造的三角形有:△BAC,△BAD,△BCD.
A,B,C,D的坐标分别为(-1,0),(0,4),(2,0),(-2,0),
可求得AB=,AC=3,BC=2,AD=1,BD=2,CD=4,
只有△BCD为等腰三角形,所以构造的三角形是等腰三角形的概率P=.…4分
(3)S△ABC=AC·BO=×3×4=6.
①当点N在边AC上时,点M在边BC上,在Rt△AMN中,MN⊥AC.
设点N的坐标为(m,0),则AN=m+1,点M的横坐标为m.
由B(0,4),C(2,0)易得线段BC的解析式为y=-2x+4,其中0≤x≤2,
所以点M的纵坐标为-2m+4,则MN=-2m+4.
S△AMN =AN·MN=(m+1)(-2m+4)
=S△ABC=2.
解得m1=1,m2=0.
当m=1时,N点的坐标为(1,0),M点的坐标为(1,2),AN=2,MN=2.
tan∠MAN===1.……………5分
当m=0时,N点的坐标为(0,0),M点与点B重合,坐标为(0,4),AN=1,MN=4.
tan∠MAN===4.………………………………………………………6分
②当点N在BC上时,点M在BC上,Rt△AMN中,MN⊥AN,
因为S△AMN=S△ABC,所以AN·MN=×BC·AN,
所以MN=BC=.
因为S△ABC=BC·AN=×2·AN=6,
所以AN=.
所以tan∠MAN===.…………8分
③当点N在AB上时,点M在BC上,Rt△AMN中,MN⊥AN.
设AN=t,则BN=–t,
过点A作AG⊥BC于点G,由②得AG=.
在Rt△ABG中,BG==.
易*△BNM∽△BGA,
所以=,即=,
求得MN=,
所以S△AMN=AN·MN=t·=2,
化简得3t2-3t+14=0,△=(3)2-4×3×14=-15<0,此方程无解,
所以此情况不存在.
综上所述,当点N在AC上,点M与点B重合时,tan∠MAN=4;
当点N在AC上,点M不与点B重合时,tan∠MAN=1;
当点N在BC上时,tan∠MAN=.…………………………10分
注:解答题用其它方法解答参照给分.
知识点:各地中考
题型:综合题