已知曲线C:x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0,其中k≠－1.(1)求*:曲线C都表示圆,...

问题详情：

已知曲线C:x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0,其中k≠－1.

(1)求*:曲线C都表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上;

(2)*:曲线C过定点;

(3)若曲线C与x轴相切,求k的值.

【回答】

解:(1)原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.

∵k≠－1,

∴5(k＋1)2＞0.

故方程表示圆心为(－k,－2k－5),

半径为的圆.

设圆心为(x,y),有

消去k,得2x－y－5＝0.

∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上.

(2)将原方程变形成

k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0.

上式关于参数k是恒等式,

∴

解得

∴曲线C过定点(1,－3).

(3)∵圆C与x轴相切,

∴圆心到x轴的距离等于半径,

即|－2k－5|＝|k＋1|.

两边平方,得(2k＋5)2＝5(k＋1)2.

∴.

知识点：圆与方程

题型：解答题