已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB...

问题详情：

已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.

(1)求a的取值范围.

(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.

【回答】

解析：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0

∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2

又∵p＞0,∴a≤－.

(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点C(x,y),

由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,

则有x==p.

∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）

点N到AB的距离为。

从而S△NAB=

当a有最大值－时，S有最大值为p2。

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题