已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C...

问题详情：

已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A  C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：

（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？

（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，

∴AC＝＝6（cm），

∵OD垂直平分线段AC，

∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠BAC＝∠DCO，

∵∠DOC＝∠ACB，

∴△DOC∽△BCA，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），

∵PB＝t，PE⊥AB，

易知：PE＝t，BE＝t，

当点E在∠BAC的平分线上时，

∵EP⊥AB，EC⊥AC，

∴PE＝EC，

∴t＝8﹣t，

∴t＝4．

∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．

（2）如图，连接OE，PC．

S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）

＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）

＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）．

（3）存在．

∵S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），

∴t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．

（4）存在．如图，连接OQ．

∵OE⊥OQ，

∴∠EOC+∠QOC＝90°，

∵∠QOC+∠QOG＝90°，

∴∠EOC＝∠QOG，

∴tan∠EOC＝tan∠QOG，

∴＝，

∴＝，

整理得：5t2﹣66t+160＝0，

解得t＝或10（舍弃）

∴当t＝秒时，OE⊥OQ．

知识点：各地中考

题型：综合题